Baur ist seit 1997 Mitglied der Schulhaus- respektive Schulleitung der Weiterbildungsschule (WBS) St. Alban in Basel. Er ist Gründungsmitglied und Co-Präsident des Verbandes der Schulleiterinnen und Schulleiter des Kantons Basel-Stadt. Laut der Mitteilung arbeitete er in den letzten Jahren als Mitglied der Projektleitung Schulharmonisierung bei den Schulreformen mit.

Baur ist zudem ausgebildeter Mathematiklehrer für die Sekundarstufe und besitzt auch das Eidg. Turn- und Sportlehrerdiplom II. Laut dem Departement arbeitete er 37 Jahre lang als Lehrer im Kanton und unterrichtete neben Mathematik und Sport auch Physik, Informatik und Lernen am Projekt. Bis im Sommer 2013 war er Klassenlehrer. Baur ist verheiratet und hat zwei Kinder.